定义

令 $f(x)$ 为开区间 $(a,b)$ 上的一个连续函数，对于任何一个正整数 $n$ 定义,$x_i = a + \frac{i(b-a)}{n}$ 求和式：

$S_n(f) =\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_i)$

如果极限 $\underset{n→∞}{lim}S_n(f)$ 存在, 那么函数 $f(x)$ 在这个区间上的黎曼积分为

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty }S_n(f)$

牛顿-莱布尼茨公式

如果 $f(x)$ 是定义在闭区间 $[a,b]$ 上的可微函数, 那么就有

$\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)$

不定积分表示为

$\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(x)+C$

牛顿-莱布尼茨公式展示了微分与积分的基本关系: 在一定程度上微分与积分互为逆运算. $f'(x)=\frac{df(x)}{dx}\Rightarrow df(x)=f'(x)dx\Rightarrow f(x)=\int df(x)=\int f'(x)dx$

函数 $ln(x)$ 的不定积分令 $f(x) = xln(x)−x$，则 $f′(x) = 1·ln(x) + x·\frac{1}{x} −1 = ln(x)$.根据牛顿 -莱布尼茨公式我们得到

$\int ln(t)dt=\int f'(t)dt=xln(x)-x+C$

如果一个函数 $f(x,y)$ 有多个变量，那么在矩形 $[a,b]×[c,d]$ 上的多重积分可以看成是每一个变量的依次积分

$\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dxdy$