标量,向量,矩阵和张量
标量(scalar):一个标量就是一个单独的数。用斜体表示标量,如 s∈R.
向量(vector):一个向量是一列数,我们用粗体的小写名称表示向量。比如 x,将向量x 写成方括号包含的纵柱:
x=[x1x2⋮xn]矩阵(matrix):矩阵是二维数组,我们通常赋予矩阵粗体大写变量名称,比如 A 。如果一个矩阵高度是 m,宽度是 n,那么说 A∈Rm×n 。一个矩阵可以表示如下:
A=[x11x12x21x22]张量(tensor):某些情况下,我们会讨论不止维坐标的数组。如果一组数组中的元素分布在若干维坐标的规则网络中,就将其称为张量。用 A 表示,如张量中坐标为 (i,j,k) 的元素记作 Ai,j,k 。
转置(transpose):矩阵的转置是以对角线为轴的镜像,这条从左上角到右下角的对角线称为主对角线(main diagonal)。将矩阵 A 的转置表示为 A⊤ 。定义如下:
向量运算
加法
设 →v=[12],→w=[3−1]则→v+→w=[41]
数乘
设 →v=[31],则2→v=[3×21×2]=[62]
矩阵-向量的乘积
矩阵是空间的线性变换,矩阵与向量相乘便是将向量进行线性变换的结果。
A→v=[i1j3−20][−12]=[−1×1+2×3−1×−2+2×0]=[52]向量-向量的乘积
向量可以看成一个矩阵,这个矩阵将空间压缩到了一维空间。
→w⋅→v=|→w||→v|cosθ=[1−2]⋅[43]=4×1+3×(−2)=−2向量的叉积
向量的叉积是一个向量,向量 →p 的方向垂直于 →w 与 →v 的平面,向量 →p 的模是 →w 与 →v 所围成平面的面积(行列式)。
→w×→v=|→w||→v|sinθ=→p高维情况
→w×→v=→p则
p1=v2⋅w3−v3⋅w2p2=v3⋅w1−v1⋅w3p3=v1⋅w2−v2⋅w1矩阵的运算
对向量的线性空间变换
矩阵加减法
矩阵数乘
矩阵转置
矩阵共轭
矩阵共轭转置
矩阵-向量的乘积
矩阵是空间的线性变换,矩阵与向量相乘便是将向量进行线性变换的结果。
A→v=[i1j3−20][−12]=[−1×1+2×3−1×−2+2×0]=[52]矩阵-矩阵的乘积
矩阵是一种线性变换,矩阵与矩阵相乘便是将空间进行线性变换之后再次进行线性变换。矩阵与矩阵的乘积是一种对于空间的复合线性变换。变换吸纳从右侧开始一次向左侧进行变换。线性变换的过程如下图所示:
矩阵-矩阵的计算过程如下所示[0210][1−210]={1×[01]+1×[20]−2×[01]+0×[20]=[201−2]
计算过程去下图所示
矩阵-矩阵乘积的性质
- 结合律即 (AB)C=A(BC)
- 分配率即 A(B+C)=AB+AC
- 注意哦,矩阵乘法没有交换律,即 AB≠BA
矩阵的逆
矩阵A∈Rn×n的逆,写作A−1,是一个矩阵,并且是唯一的。是对矩阵A空间操作的逆变换。同时AA−1也可以理解为矩阵A除以矩阵A 等于单位矩阵I,A−1A=I=AA−1.
注意不是所有的矩阵都有逆。例如非方阵,是没有逆的。然而,即便对于一些方阵,它仍有可能不存在逆。如果A−1存在,我们称矩阵A 是可逆的或非奇异的,如果不存在,则称矩阵A不可逆或奇异。如果一个方阵A有逆A−1,它必须满秩
矩阵的秩
矩阵的秩实际上的经过矩阵操作后空间的维数。在矩阵A中,非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩,记为或秩。规定零矩阵的秩为零。
求解思路
矩阵A初等行变换→阶梯形矩阵B。则r(A)=r(B)=(B中非零行的行数)
- 例子
-
求矩阵A=[2−382212−2121314]的秩。
解:
A=[2−382212−2121314]→[13142−382212−212]→[13140−96−606−64]→[131403−2200−00]因此r(A)=2
矩阵的迹
方阵A∈Rn×n的迹,记作tr(A),或可以省略括号表示成trA,是矩阵的对角线元素之和:trA=∑ni=1Aii
- 性质
- 对于A∈Rn×n,trA=trAT.
- 对于A,B∈Rn×n,tr(A+B)=trA+trB.
- 对于A∈Rn×n,t∈R,tr(t∗A)=t∗trA.
1.对于方阵 A,B,C,trABC=trBCA=trCAB,即使有更多的矩阵相乘,这个性质也不变.
正交矩阵
如果xTy=0,则两个向量 x,y∈Rn是正交的。对于一个向量x∈Rn,如果 |x|=1 则是 x 归一化的。对于一个方阵U∈Rn×n,如果所有列都是彼此正交和归一化的,(列就称为标准正交)则这个方阵是正交的(注意在讨论向量或矩阵时,正交具有不同的含义)。 根据正交和归一化的定义可得:
UTU=I=UUT