矩阵的逆

定义

设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵$A^{-1}$，使得： $AA^{-1}=A^{-1}A=I$。 则我们称$A^{-1}$是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。
注：单位矩阵

$$I_{n}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$$

求解

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$$

设矩阵$A$为

$$A=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\ A_{21} & A_{22} & A_{23}\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}$$

伴随矩阵$A^{*}$

代数余子式

• $M_{ij}$
  那么第i行，第j列的代数余子式为去掉A第i行，第j列之后的矩阵的行列式，记为$M_{ij}$
  那上面的矩阵A为例子，那么 $$M_{11}=\begin{vmatrix} A_{22} & A_{23}\\ A_{32} & A_{33} \end{vmatrix}$$
• 代数余子式
  那么代数余子式为$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

伴随矩阵

矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵

$$A^{*}=\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13}\\ C_{21} & C_{22} & C_{23}\\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix}^{T} \\$$ $$\begin{bmatrix} (-1)^{(1+1)}\begin{vmatrix} A_{22} & A_{23}\\ A_{32} & A_{33} \end{vmatrix} & (-1)^{(1+2)}\begin{vmatrix} A_{21} & A_{23}\\ A_{31} & A_{33} \end{vmatrix} & (-1)^{(1+3)}\begin{vmatrix} A_{21} & A_{22}\\ A_{31} & A_{32} \end{vmatrix}\\ (-1)^{(2+1)}\begin{vmatrix} A_{12} & A_{13}\\ A_{32} & A_{33} \end{vmatrix} & (-1)^{(2+2)}\begin{vmatrix} A_{11} & A_{13}\\ A_{31} & A_{33} \end{vmatrix} & (-1)^{(2+3)}\begin{vmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{31} & A_{32} \end{vmatrix}\\ (-1)^{(3+1)}\begin{vmatrix} A_{12} & A_{13}\\ A_{21} & A_{23} \end{vmatrix} & (-1)^{(3+2)}\begin{vmatrix} A_{11} & A_{13}\\ A_{21} & A_{23} \end{vmatrix} & (-1)^{(3+3)}\begin{vmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix}^{T}$$

求解行列式$|A|$

$$det(A)=|A|=A_{11}det\left (\begin{bmatrix} A_{22} & A_{23}\\ A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}\right )-A_{12}det\left (\begin{bmatrix} A_{21} & A_{23}\\ A_{31} & A_{33} \end{bmatrix}\right )+A_{13}det\left (\begin{bmatrix} A_{21} & A_{22}\\ A_{31} & A_{32} \end{bmatrix}\right )$$